Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Willkommen zur 17. Vorlesung. Heute kommen wir endlich zum quantenmechanischen Zwei-Körper-Problem.

Und Sie kennen das Zwei-Körper-Problem natürlich aus der klassischen Mechanik. Da hat man zwei

Massen, M1 und M2, nicht notwendigerweise gleiche Massen betrachtet, die über ein Potential

wechselwirken, das halt summarisch zusammenfasst, was da die Wechselwirkung ist. Und dieses Potential

soll aber wie in einem klassischen Zweikörperproblem nur wirklich vom Abstand der beiden Körper

abhängen, nicht etwa von der Orientierung im Raum. Dazu bräuchte man äußere Felder, sondern wirklich

nur vom Abstand der beiden Körper. Und Sie wissen, dass man da klassisch mechanisch, zum Beispiel bei

einem Kepler-Potential, bei einem 1 durch R-Potential anzieht, Bewegungen bekommt,

wie etwa eine Ellipsenbewegung oder parabolische Bewegung als Grenzfall, der die Ellipsenbewegung

dann abtrennt von allen möglichen hyperbolischen Bewegungen. Und die Frage ist natürlich, wie

sieht denn das eigentlich im quantenmechanischen Fall aus? Und es ist natürlich klar, wenn man

zum Beispiel so etwas betrachten will wie ein Wasserstoffatom, bei dem man ein positiv geladenes

Proton im Kern hat und ein Elektron außenrum, dann möchte man wissen, wie läuft eigentlich das

Elektron um das Proton rum? Grob gesprochen. Und wenn man das klassisch angeht und sagt,

naja, die Wechselwirknisse sind nicht gravitativ, sondern elektrostatisch, zunächst mal in erster

Nährung, da gibt es da eben ein 1 durch R-Coulomb-Potential, ein anziehendes Coulomb-Potential,

weil das Elektron halt negativ geladen ist und das Proton positiv, also ziehen die sich an. Und da

kann man sich jetzt natürlich überlegen, welche Energien da möglich wären, wenn ich das klassisch

betrachte. Und natürlich klassisch sind alle möglichen Energien in den gebundenen Zuständen

möglich. Wenn man die Energien hoch treibt, ist das dann irgendwann eine parabolische Bewegung.

Wenn man sie noch weiter hoch treibt, ist es dann wieder eine hyperbolische Bewegung. Zumindest mal,

wenn man solche Kleinigkeiten, die natürlich physikalisch wichtig sind, wie die Abstrahlung

von elektromagnischer Strahlung bei Beschleunigung so außer Acht lässt, müsste das so was sein. Und

berühmterweise ist das natürlich beim Wasserstoffatom nicht so. Es gibt eben nicht alle möglichen

Energien. Und letztlich, da muss man noch ein bisschen mehr drüber nachdenken, gibt es dann eben

die Spektrallinien von Übergängen. Und da sieht man, aha, offenbar das Elektron kann nur auf

bestimmten Energieliveaus sitzen, ganz grob gesprochen. Und naja, also es kommt klassisch

überhaupt nicht raus. Und die Frage ist, kann die Quantenmechanik, wie wir sie bisher entwickelt

haben, kann die die richtige Vorhersage machen? Und die Antwort ist natürlich, ja, das kann sie.

Man muss nur das Problem ganz sauber, sauber und sorgfältig durchrechnen. Also was wir hier machen,

das da wäre quasi die klassische Situation. Und klar, alle Energien erlaubt, alle Energien möglich

des Gesamtsystems. Und das ist halt im Widerspruch zum Beispiel zu den Spektrallinien beim Wasserstoffatom.

Und damit lautet die Frage, quantenmechanische Behandlung führt die denn auf die richtigen

Energie, auf das richtige Energiespektrum? Und die Antwort ist natürlich, ja, sonst wäre die

Quantenmechanik nicht in dieser Form, hätte sie nicht überlebt. Und also was jetzt hier unsere

Mission ist heute, ist, wir betrachten zwei quantenmechanische Teilchen, die über ein

weitgehend, und das werde ich im Laufe der Vorlesung präzisieren, genau wie weit das geht,

die über ein weitgehend beliebiges Potenzial V wechselwirken, wobei V aber nur vom Abstand

zwischen beiden Teilchen abhängt. Also es ist genau die gleiche Fragestellung wie im klassischen,

und der einzige Unterschied ist, wir beschäftigen uns damit jetzt auf quantenmechanischer Ebene.

Gut, und dabei werden wir jetzt natürlich all das gebrauchen, was wir uns bisher erarbeitet haben,

um dieses zwei Körperproblem zu verstehen. Und wir könnten jetzt gleich für das V das

Coulomb-Potenzial einsetzen, aber wir halten uns das gerne ein wenig offen,

damit man unterscheiden kann, was ist denn spezifisch Coulomb-Potenzial und was ist denn

allgemein dieses zwei Körperproblem. Also mögliche Potenziale, ich fange mal an mit einem etwas

allgemeineren Potenzial als Coulomb, das nennt sich das Yukawa-Potenzial. Und das Yukawa-Potenzial,

das hängt dann eben vom Abstand zweier Teilchen ab, ich sage jetzt einfach mal V von R,

und ein Yukawa-Potenzial, das hat die Form E hoch minus, da gibt es irgendeine Konstante K,

dann gibt es ein kleines M, das ist aber keins dieser beiden Teilchen, ich sage gleich,